Der Kurbeltrieb

Aus Drehung wird Hub, wie in jedem Kolbenmotor.

01 Slider-Crank Getriebelehre

Drehzahl 90 min⁻¹

Pleuellänge l/r 3.5

Kurbelwinkel

0°

Kolbenweg (vom OT)

Kolben-Geschw. (rel.)

Warum spannend: Der Kolbenweg ist keine reine Sinuskurve. Die Abweichung erzeugt die Massenkräfte, die man beim Motor auswuchten muss.

Herleitung & Rechenweg

Gesucht: der Kolbenweg x über dem Kurbelwinkel φ. Kurbel (Radius r) und Pleuel (Länge l) bilden ein Dreieck; der Kolben läuft auf der Zylinderachse.

Der Kurbelzapfen liegt bei (r·cos φ, r·sin φ). Der Kolben sitzt auf der Achse; das Pleuel der festen Länge l verbindet beide. Pythagoras liefert x.

x = r·cos φ + √( l² − r²·sin²φ )

Die Wurzel ist unhandlich. Mit λ = r/l und einer Näherung wird daraus eine gut lesbare Summe:

x ≈ r·( cos φ + (λ/4)·cos 2φ ) + const
der cos-2φ-Term ist der Anteil 2. Ordnung

Warum das zählt: Zweimal nach der Zeit abgeleitet ergibt die Beschleunigung, also die Massenkraft. Der cos-2φ-Anteil schwingt mit doppelter Drehzahl: das ist die Massenkraft 2. Ordnung, die man in Reihenmotoren gezielt ausgleicht.

Beispiel: bei φ = 90° ist cos φ = 0, aber cos 2φ = −1. Der Kolben steht dann nicht mittig, sondern näher am unteren Totpunkt. Genau das zeigt die Animation oben.

Zahnräder & Übersetzung

Das Verhältnis der Zähnezahlen ist die Übersetzung.

02 Stirnradpaar Maschinenelemente

Zähne Antrieb z₁ 14

Zähne Abtrieb z₂ 28

Übersetzung i = z₂/z₁

2.00

Antrieb

100min⁻¹

Abtrieb n₂

50min⁻¹

Merke: Wenige Zähne treiben viele → langsamer, aber mehr Drehmoment.

Herleitung & Rechenweg

Zwei Räder kämmen ohne Schlupf. Am Berührpunkt (dem Wälzpunkt, orange markiert) haben beide exakt dieselbe Umfangsgeschwindigkeit v.

Gleiche Umfangsgeschwindigkeit: v = ω₁·r₁ = ω₂·r₂. Weil der Modul m (die Zahngröße) bei beiden gleich sein muss, gilt r = m·z/2. Der Teilkreis ist also proportional zur Zähnezahl z.

r durch z ersetzen und umstellen:

i = ω₁ / ω₂ = n₁ / n₂ = z₂ / z₁

Reibungsfrei bleibt die Leistung erhalten, P = M·ω. Sinkt die Drehzahl um i, steigt das Moment um i:

M₂ = i · M₁ langsamer, aber kräftiger

Beispiel z₁ = 14, z₂ = 28: i = 2. Aus 100 min⁻¹ werden 50 min⁻¹, das Drehmoment verdoppelt sich. Genau so macht ein Getriebe aus einem schnellen, schwachen Motor einen langsamen, starken Antrieb.

Die gedämpfte Schwingung

Masse, Feder, Dämpfer: das Grundmodell jeder Schwingung.

03 Feder-Masse-Dämpfer Technische Mechanik

Masse m 1.0 kg

Steifigkeit k 40 N/m

Dämpfung c 1.5 Ns/m

Eigenkreisfreq. ω₀

6.3rad/s

Dämpfungsgrad ζ

0.12

Verhalten

unterkritisch

ζ = c / (2·√(k·m)): unter 1 schwingt es, bei 1 kommt es am schnellsten zur Ruhe, über 1 kriecht es zurück.

Herleitung & Rechenweg

Newton für die Masse m: Die Feder zieht mit −k·x zurück, der Dämpfer bremst mit −c·ẋ (proportional zur Geschwindigkeit ẋ).

Kräftesumme m·ẍ = −k·x − c·ẋ, sortiert:

m·ẍ + c·ẋ + k·x = 0

Ohne Dämpfung (c = 0) schwingt es rein sinusförmig mit der Eigenkreisfrequenz:

ω₀ = √( k / m ) [rad/s]

Wie stark gedämpft wird, misst der dimensionslose Dämpfungsgrad ζ. Er vergleicht die Dämpfung mit der „kritischen":

ζ = c / ( 2·√(k·m) )

ζ < 1 unterkritisch (schwingt aus), ζ = 1 aperiodischer Grenzfall (schnellste Rückkehr ohne Überschwingen, so legt man Stoßdämpfer aus), ζ > 1 überkritisch (kriecht zurück).

Beispiel k = 40 N/m, m = 1 kg → ω₀ = 6,3 rad/s (≈ 1 Hz). Mit c = 1,5 Ns/m wird ζ = 0,12: schwach gedämpft, es schwingt lange nach.

Kármánsche Wirbelstraße

Wirbel, die Schornsteine schwingen und Stromleitungen singen lassen.

04 Zylinderumströmung Strömungslehre

Anströmung U mittel

Strouhal-Zahl: Je schneller der Wind, desto öfter lösen sich Wirbel ab. Deshalb pfeift er mal höher, mal tiefer.

Physik dahinter

Die Grundströmung folgt hier der Potentialströmung um einen Kreiszylinder, deshalb teilen sich die Bahnen sauber und schließen sich hinter dem Zylinder wieder:

u = U·( 1 − R²·(x²−y²)/r⁴ ) , v = −U·2R²·x·y/r⁴
r = Abstand zur Zylindermitte, R = Radius

In Wirklichkeit reißt die Strömung hinten ab und rollt sich abwechselnd oben und unten zu Wirbeln auf. Jeder wird als Rankine-Wirbel modelliert: innen wie ein starrer Kern, außen mit v ∝ 1/r.

Wie oft ein Wirbel abgeht, sagt die dimensionslose Strouhal-Zahl St:

f = St · U / D mit St ≈ 0,2 für den Zylinder

Alltag: Beim dünnen Draht ist D klein, f also hoch → es pfeift. Bei einem dicken Schornstein ist f niedrig. Trifft sie dessen Eigenfrequenz, kann er gefährlich schwingen (dagegen die Wendel an hohen Schornsteinen).

Fourier: Wellen aus Kreisen

Jede periodische Kurve lässt sich aus rotierenden Kreisen zeichnen.

05 Epizykel-Synthese Höhere Mathematik

Anzahl Terme N 4

Signalform

Gibbs-Phänomen: An den Sprüngen bleibt immer ein kleiner Überschwinger.

Herleitung & Rechenweg

Idee: Jede periodische Funktion ist eine Summe reiner Sinuswellen: Grundton plus Obertöne. Ein rotierender Kreis erzeugt dabei genau einen Sinus (seine Höhe über der Mitte).

Ein Kreis mit Radius Aₙ, der mit Frequenz n dreht, liefert die Höhe Aₙ·sin(n·ω·t). Hängt man viele aneinander, addieren sich ihre Höhen. Die Spitze der Kette zeichnet die Summe.

f(t) = Σ Aₙ · sin(n·ω·t)

Für die Rechteckwelle braucht es nur die ungeraden Vielfachen (1, 3, 5, …), und die Amplitude fällt mit 1/n:

Aₙ = 4/(π·n) , n = 1, 3, 5, … Sägezahn: alle n · Dreieck: ∝ 1/n²

Je mehr Terme, desto eckiger, aber an den Sprüngen bleibt ein ≈ 9 %-Überschwinger, das Gibbs-Phänomen, das nie ganz verschwindet.

Genau diese Zerlegung steckt hinter MP3, JPEG und jeder Schwingungsanalyse: ein Signal in seine Frequenzen zerlegen und Unwichtiges weglassen.

Das Doppelpendel

Zwei Pendel aneinander, und aus einfacher Mechanik wird Chaos.

06 Chaotisches Pendel Dynamik

Spur nachzeichnen

Deterministisch, aber unvorhersehbar: Kleinste Änderungen am Start ergeben eine völlig andere Bahn.

Warum Chaos?

Oberes und unteres Pendel ziehen aneinander: ihre Bewegungen sind gekoppelt. Aus dem Lagrange-Formalismus folgen zwei verkettete Differentialgleichungen für die Winkel φ₁, φ₂.

Die Winkelbeschleunigung des oberen Pendels hängt von beiden Winkeln und Geschwindigkeiten ab:

φ̈₁ = f( φ₁, φ₂, φ̇₁, φ̇₂ )
ein nichtlinearer Ausdruck mit sin(φ₁ − φ₂)

Das sin(φ₁ − φ₂) macht das System nichtlinear. Es gibt keine geschlossene Lösung. Man rechnet Schritt für Schritt (hier per Zeitintegration, 8 Teilschritte pro Bild).

Empfindlichkeit: Ein um 0,1° anderer Startwinkel führt nach Sekunden zu einer völlig anderen Bahn: der „Schmetterlingseffekt", dieselbe Mathematik wie beim Wetter.

Der Otto-Kreisprozess

Die Fläche im p-V-Diagramm ist die gewonnene Arbeit.

07 p-V-Kreisprozess Thermodynamik

Verdichtungsverhältnis ε 10 : 1

Takt

Verdichten

Wirkungsgrad η

60%

Spitzendruck

65bar

Mehr ε = mehr η, bis das Gemisch von selbst zündet (Klopfen).

Herleitung & Rechenweg

Der Wirkungsgrad ist der Anteil der zugeführten Wärme, der zu Arbeit wird: η = W/Q_zu. Für den idealen Otto-Prozess (zwei isentrope + zwei isochore Schritte) kürzt sich fast alles. Übrig bleibt eine erstaunlich einfache Formel:

Verdichten (1→2) und Expandieren (3→4) laufen isentrop, es gilt T·V^κ−1 = const. Das Volumenverhältnis zwischen den Isochoren ist gerade ε.

Wärme fließt nur bei konstantem Volumen (Q = m·c_v·ΔT). Temperaturen einsetzen, kürzen. Es bleibt nur ε übrig:

η = 1 − 1 / ε^κ−1 κ ≈ 1,4 für Luft

Rechnen: ε = 10 → η = 1 − 1/10^0,4 = 1 − 0,40 = 60 % (ideal). Ein echter Motor schafft davon etwa die Hälfte: Reibung, Wärmeverluste, reales Gas.

Motor trifft Last

Ein Antrieb läuft dort, wo Motor- und Lastmoment gleich sind.

08 Drehzahl-Moment-Kennlinie Antriebsdynamik

Lastart

Lastniveau 100 %

Drehzahl

Betriebspunkt n_B

Moment M

Beschleunigungsmoment: Die Differenz Motor − Last treibt das Schwungrad an.

Herleitung & Rechenweg

Alles dreht sich um ein Drehmoment-Gleichgewicht am Schwungrad (Massenträgheit J):

J · dω/dt = M_Motor(n) − M_Last(n)

Die Motorkennlinie (hier Asynchronmotor, Kloss'sche Gleichung) hat ein Kippmoment und fällt zur Nenndrehzahl hin steil ab. Die Lastkennlinie steigt, beim Lüfter mit dem Quadrat der Drehzahl, M_Last ∝ n².

Solange M_Motor > M_Last, ist dω/dt > 0: die Maschine beschleunigt. Der Überschuss schrumpft, je näher der Schnittpunkt kommt.

Im Betriebspunkt sind beide gleich, dω/dt = 0, die Drehzahl bleibt konstant:

M_Motor(n_B) = M_Last(n_B)

Ein großes Schwungrad (großes J) läuft träge hoch, hält die Drehzahl aber stabil. Übersteigt die Last das Kippmoment, „kippt" der Motor: er kommt gar nicht erst hoch.

Das Strahltriebwerk

Ansaugen, verdichten, verbrennen, ausstoßen.

09 Turbofan Turbomaschinen

Schubhebel N1 80 %

Schub

83kN

Gas nach Brennkammer

1420°C

Druckverhältnis

38:1

Nebenstrom

10:1

Der Trick moderner Triebwerke: Viel Luft langsam beschleunigen spart Energie. Deshalb der riesige Fan.

Herleitung & Rechenweg

Schub entsteht durch Impulsänderung: Das Triebwerk saugt Luft mit v_ein an und stößt sie schneller mit v_aus aus. Nach Newton (actio = reactio):

F = ṁ · ( v_aus − v_ein )
ṁ = angesaugte Luftmasse pro Sekunde

Dahinter läuft der Joule-/Brayton-Prozess: ansaugen → verdichten (Druck ×40) → bei konstantem Druck verbrennen → in Turbine und Düse entspannen. Die Turbine treibt nur den Verdichter an, der Rest der Energie wird Schub.

Warum der große Fan? Für denselben Schub F kann man ṁ groß und Δv klein machen (Fan) oder umgekehrt (nur Kern). Die verschwendete Leistung steckt im Δv²: viel Luft sanft beschleunigen kostet weniger Energie.

η_V = 2 / ( 1 + v_aus / v_flug ) Vortriebswirkungsgrad

Darum haben moderne Triebwerke ein Nebenstromverhältnis von ~10:1, zehnmal so viel kalte Bypass-Luft wie heiße Kernluft. Das spart Sprit und macht sie deutlich leiser.

Zum Staunen

Ingenieurwissen, das man kaum glaubt.

11 Tonnen

An einer fingergroßen Schaufel

Die Fliehkraft an einer Turbinenschaufel entspricht einem voll besetzten Reisebus.

Strahltriebwerk

1700 °C

Heißer als ihr Schmelzpunkt

Das Metall schmilzt bei ~1300 °C. Kühlluftkanäle und Keramik schützen die Schaufel.

Werkstoffe

1 Kristall

Die Schaufel ohne Korngrenzen

Gegossen als ein einziger Metallkristall, damit sie unter Hitze nicht „kriecht".

Gießtechnik

×40

Heiß, bevor es brennt

Auf das ~40-Fache verdichtet, wird die Luft rund 600 °C heiß, noch ohne Kerosin.

Thermodynamik

1 t/s

Der Fan schaufelt Luft

Über eine Tonne Luft pro Sekunde, und ~85 % des Schubs.

Antrieb

13 t/s

Saturn V, die Mondrakete

13 Tonnen Treibstoff pro Sekunde, so viel Leistung wie etwa 85 Hoover-Staudämme.

Raumfahrt

300 km/h

Die Windrad-Blattspitze

Das Rad dreht gemächlich, die Blattspitze rast mit rund 300 km/h.

Windkraft

15 cm

Der Eiffelturm im Sommer

An heißen Tagen ist der Eiffelturm rund 15 cm höher als im Winter.

Wärmeausdehnung

7 m

So weit biegt sich ein Flügel

Im Bruchtest biegt sich die Tragfläche eines Großraumjets um mehrere Meter.

Festigkeit

125 Jahre

Beton, der noch aushärtet

Ohne Kühlrohre bräuchte der Hoover-Staudamm rund 125 Jahre zum Auskühlen.

Bauwesen

Sprachen und Projekte

Welche Sprache in welchem Projekt von Timo Britz steckt.

＊ Sprachen × Projekte Werkzeugkasten

Tipp: eine Sprache oder ein Projekt antippen.

Alle Modelle sind vereinfacht, zum Verstehen, nicht zum Auslegen. Eingaben werden nicht gespeichert.

Physik, die man anfassen kann.

Der Kurbeltrieb

Zahnräder & Übersetzung

Die gedämpfte Schwingung

Kármánsche Wirbelstraße

Fourier: Wellen aus Kreisen

Das Doppelpendel

Der Otto-Kreisprozess

Motor trifft Last

Das Strahltriebwerk

Zum Staunen

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Heißer als ihr Schmelzpunkt

Die Schaufel ohne Korngrenzen

Heiß, bevor es brennt

Der Fan schaufelt Luft

Saturn V, die Mondrakete

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